فهرست جداول

عنوان                                                                                                         صفحه

جدول شماره 2.1: مجموع مربعات باقیمانده……………………………………………………………………………………………………. 31

جدول شماره 2.2: مجموع مربعات باقیمانده…………………………………………………………………………………………………… 34

جدول شماره 3.2: ضرائب برآورد شده (برای مدل کامل)………………………………………………………………………………. 35

جدول شماره 1.3: متوسط طول و احتمالات پوشش فواصل اطمینان روش NA برای ……………………………. 62

جدول شماره 1.3: متوسط طول و احتمالات پوشش فواصل اطمینان روش AEL برای …………………………. 63

فهرست شکل­ها

عنوان                                                                                                                    صفحه

شکل شماره 1.2: نمودار باقیمانده ها برای داده های پیوند قلب استانفورد، برازش درجه دوم………………………. 20

شکل شماره 2.2: نمودار باقیمانده ها برای داده های پیوند قلب استانفورد، برازش خطی…………………………….. 21

فصل اول:

مقدمات

در این فصل تعاریف و مقدمات اولیه برای مدل­های خطی، مدل­های خطی با خطای اندازه ­گیری، برآوردگرهای استوار به­ویژه برآورد M، آنالیز بقا، برآوردگر کاپلان مایر، داده ­های سانسورشده و انواع سانسور ارائه می­شود.

1-1- مدل خطی

یکی از کاربردی­ترین­­ روش­ها برای تحلیل داده ­ها در بین ابزارهای آماری، تحلیل رگرسیونی است. تحلیل رگرسیونی،روشی کارآمد برای بررسی و مدل­سازی ارتباط بین متغیرها است که از این مدل های رگرسیونی در توصیف داده ­ها، برآورد پارامترهای مجهول، پیش­گویی و کنترل استفاده می شود.

در بیشتر موارد، پاسخ یک آزمایش به چندین متغیر مستقل مثلا k متغیر مستقل، وابسته است. در این صورت یک مدل خطی رابطه­ای به صورت زیر را در نظر می­گیرد:

که n اندازه نمونه می­باشد. متغیرهای  را متغیرهای توضیحی و متغیر تصادفی قابل مشاهده y را متغیر پاسخ می­نامند.

متغیر تصادفی غیرقابل مشاهده  متغیر خطا تلقی می­شود، بدین معنی که به عنوان متغیری تصادفی، انداره ناتوانی مدل در برازش دقیق داده ­ها را اندازه ­گیری می­ کند. این خطا ممکن است به دلیل عدم حضور برخی از متغیر­های مؤثر، خطاها­ی تصافی مربوط به مشاهدات و اندازه ­گیری­ها و غیره صورت پذیرد.

همچنین فرض می­شود که خطا­ها دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس نامعلوم  و ناهمبسته باشند.

پارامترها­ی  و  مجهول هستند و باید با بهره گرفتن از داده ­ها برآورد شوند. فرض می­­شودداده ­ها عبارتند از  که در آن  پاسخ متناظر با k سطح از متغیرها­ی مستقل  است. یعنی بنابر معادله (1.1.1) می­توان نوشت:

آن­گاه هدف ما به دست آوردن برآوردها­ی برای به ترتیب به نام­های  و در نتیجه به دست آوردن رابطه زیر است.

که در آن  نشان دهنده مقدار برآورد شده y به ازای مقادیر  است. در این صورت معادله (3.1.1) به عنوان معادله پیش بینی کننده می ­تواند مورد استفاده قرار گیرد.

معمول­ترین روش در برآورد پارامترهای یک مدل خطی، استفاده از روش “کمترین مربعات معمول (OLS)” است که روشی بسیار سودمند و کارا است.

پایه و اساس روش کمترین مربعات به  Gaussو  Legendreباز می­گردد. این روش (و تعمیم­های آن ) به دلیل راحتی محاسبات و جواب­های بسته مبتنی برآن مورد توجه بسیاری از آماردانان است.

این مطلب را هم بخوانید :

برآوردهای  را به گونه­ای برمی­گزینیم که مجموع توان دوم انحراف­ها را کمینه کند، یعنی آن­ها را به ­گونه­ای به ­دست می­آوریم که در معادله زیر هنگامی که به ترتیب جایگزین  می­شوند، کمترین مقدار ممکن را تولید کنند.

برآوردهای  با مشتق گرفتن از معادله (4.1.1) نسبت به  و مساوی صفر قرار دادن آن­ها به دست می­آیند. ملاحظه می­شود که برای حل این معادله ها­ی نرمال بهتر است که از روش ماتریسی استفاده شود. می توان رابطه (1.1.1) را به فرم ماتریسی زیرر در نظر گرفت.

بطوری­که .

فرم ماتریسی را می­توان بصورت زیر نوشت.

این مدل را یک مدل خطی گویند، زیرا نسبت به پارامترها­ی مدل، خطی است.