زمان: ریشه یابی یک سیستم دینامیکی به معنی یافتن تغییرات در حالت سیستم با گذشت زمان است که یک مجموعه مرتب است.
دو نوع سیستم دینامیکی در نظر گرفته می شود:
1- سیستم های با زمان پیوسته
2- سیستم های بازمان گسسته .
سیستم های نوع اول سیستم دینامیکی زمان پیوسته و سیستم های نوع دوم سیستم های دینامیکی زمان گسسته نامیده می شوند.
سیستم های دینامیکی زمان گسسته به طور طبیعی در بوم شناسی و اقتصاد ظاهر می شوند.
عملگر ریشه یابی:
مؤلفه اصلی یک سیستم دینامیکی قانون ریشه یابی است که حالت سیستم در زمان یعنی را مشخص می کند وقتی که حالت اولیه سیستم یعنی معلوم است.
متداولترین روش برای مشخص کردن عملگر ریشه یابی این است که در نظر بگیریم که برای هر یک نگاشت تک مقداری مانند در فضای حالت تعریف شده باشد یعنی تعریف شده باشد که حالت اولیه را به حالت در زمان انتقال دهد یعنی . نگاشت عملگر ریشه- یابی سیستم دینامیکی نامیده می شود. در سیستم های زمان پیوسته خانواده از عملگر ها، شار نامیده می شود.
توجه کنید که ممکن است نگاشت برای هر جفت تعریف نشده باشد. عملگرهای ریشه یابی دو خصوصیت کلی دارند که باعث می شوند رفتار(حالت) آینده سیستم دینامیکی مشخص شود.
(a) که در اینجا نگاشت همانی روی است یعنی برای هر ، . این خاصیت می گوید رفتار سیستم خودبه خود تغییر نمی کند.
(b) دومین خاصیت عملگر ریشه یابی این است که به ازای هر و به طوری که هر دو طرف نامساوی بالا تعریف شده باشد.
این خاصیت می گوید: حالت نتیجه شده از ریشه یابی سیستم در واحد زمانی با شروع از نقطه مانند این است که سیستم از حالت اولیه در واحد زمانی تغییر یابد وسپس در واحد زمانی از حالت کامل شود.
در بسیاری از سیستم ها حالت فعلی سیستم ، نه تنها رفتار آینده سیستم بلکه رفتار گذشته آن را نیز مشخص می کند. به عبارت دیگر عملگر ریشه یابی برای نیز تعریف شده و خاصیت دوم سیستم های دینامیکی زمانی که هر دو منفی باشند نیز برقرار است. چنین سیستم هایی معکوس پذیر نامیده می شوند و عملگر معکوس عملگر است( ). بنابراین .
یک سیستم دینامیکی زمان گسسته توسط تنها یک نگاشت که نگاشت تک زمان نامیده
می شود، مشخص می شود. به وضوح ، که تکرار دوم نگاشت است. به همین ترتیب داریم : برای هر .
اگر سیستم زمان گسسته معکوس پذیر باشد روابط بالا برای نیز برقرار است و . البته هنگام به کار بردن تکرارها باید چک کنیم که تکرارها متعلق به دامنه تعریف تابع باشند.
در بسیاری از سیستم ها تابع پیوسته ای از است که اگر باشد نسبت به زمان نیز پیوسته است.
بسیاری از سیستم های تعریف شده روی یا روی منیفلدهای هموار در به گونه ای است که به عنوان یک تابع از هموار است، چنین سیستم هایی، سیستم های
این مطلب را هم بخوانید :
دینامیکی هموار نامیده می شوند.
حال ما قادریم یک تعریف رسمی از سیستم دینامیکی ارائه دهیم. در زیر به تعریف یک سیستم دینامیکی به زبان ریاضی می پردازیم.
