الف : دارای توزیع کای اسکور با درجه آزادی است .
ب : دارای توزیع نمایی استاندارد می باشد.
پ : از یکدیگر مستقل هستند.
ج : دارای توزیع با درجه آزادی است.
جائیکه :
اثبات :
ابتدا با بهره گرفتن از روش تابع توزیع نشان می دهیم که (کوچکترین آماره
ترتیبی) دارای توزیع نمایی دوپارامتری می باشد.
ابتدا تابع توزیع متغیر تصادفی را بدست می آوریم.
بنا به مستقل و هم توزیع بودن داریم.
با مشتق گیری از نسبت به داریم :
بنابراین :
درنتیجه :
در این قسمت توزیع را بدست می آوریم .
از قبل می دانیم که اگر یک نمونه تصادفی تایی از توزیع نمایی دوپارامتری باشد
آن گاه متغیرهای تصادفی دارای توزیع نمایی می باشند . داریم :
برای پیداکردن توزیع ابتدا توزیع ها را بدست می آوریم.اگر یک نمونه تصادفی تایی از توزیع جاییکه باشد،آن گاه داریم :
برای اثبات رابطه فوق (رجوع شود به فصل اول پارسیان قسمت (ط))
فرض کنید آماره های ترتیبی نمونه تصادفی باشند. چگالی آماره های ترتیبی به صورت زیر است .
نشان می دهیم متغیرهای تصادفی
مستقل و هم توزیع با توزیع می باشند.
ژاکوبین تبدیل فوق برابر است با:
و به سادگی داریم :
پس
با توجه به اینکه حدود ها به یکدیگر بستگی ندارد و تابع چگالی توأم آنها به صورت حاصل ضرب تابع
چگالی نمایی با پارامتر در آمده است ، بنابراین ها از یکدیگر مستقل و هم توزیع ( با توزیع )
می باشند .
به سادگی داریم :
با توجه به مطلب فوق
ویا
در نتیجه :
بنابراین :
در نتیجه توزیع به صورت زیر خواهد بود .
برای اثبات قسمت (ب) داریم :
با بهره گرفتن از روش تابع توزیع داریم :
جائیکه :
با بهره گرفتن از روابط بین توزیع ها داریم :
پس:
یعنی wدارای توزیع نمایی استاندارد می باشد.
برای اثبات قسمت (پ) داریم :
در قسمت های قبل نشان دادیم که برای یک ثابت دارای توزیع کای اسکور با درجه
آزادی است پس یک آماره فرعی می باشد که توزیع آن به پارامتر مجهول بستگی ندارد . همچنین برای ثابت
می توان نشان داد که یک آماره بسنده کامل برای می باشد . پس برای یک ثابت از
(طبق قضیه باسو) مستقل می باشند . حال چون دلخواه می باشد پس می توان گفت
از نیز مستقل می باشد .
برای اثبات قسمت (ج) داریم :
در اینجا صورت و مخرج عبارت را بر تقسیم می کنیم :
در قسمت های قبل نشان دادیم که و طبق قضیه باسو از یکدیگر مستقل می باشد و همچنین
و
در نتیجه :
فرض کنید دو متغییر تصادفی و دو مقدار ثابت مثبت باشند، آنگاه :
اثبات :
فرض کنید باشد. برای اثبات لِمِ (1-1) از روش عضو گیری استفاده می کنیم. فرض کنید که
عضوی از ناحیه ی باشد، ثابت می کنیم که این نقطه عضوی از ناحیه ی است.
این مطلب را هم بخوانید :
اگر داشته باشیم ، آنگاه به راحتی می توان به نتایج زیر رسید :
می دانیم که هستند. اکنون دو حالت مختلف را در نظر می گیریم :
حالت اول :
با بهره گرفتن از رابطه (1-1) داریم :
از طرفی با توجه به این که است و در این حالت می باشد، بنابراین داریم :
در نتیجه داریم :
بنابراین به راحتی نتیجه می گیریم :
حالت دوم :
می دانیم که در این حالت است . حال اگر باشد، با توجه به این که در این حالت
است و رابطه ی (1-1) نتیجه می گیریم :
