قضیه 1-2-2 فرض كنید G یک گروه متناهی و N یک زیرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه  و  مقسوم‌علیهی از است و همچنین داریم.

برهان. به [33] رجوع شود.

تعریف: فرض كنید n یک عدد صحیح باشد. در این صورت ، مجموعه تمام اعداد اولی است كه n را می‌شمارد.

اگر G یک گروه متناهی باشد،  را همان  تعریف می‌كنیم.

قضیه 1-2-3 فرض كنید G یک گروه متناهی،  فرد باشد همچنین فرض كنید P  یک سیلو  زیرگروه G و  جائیكه . اگر P دوری نباشد،  آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربی از  است.

برهان. به [24] رجوع شود.

قضیه 1-2-4 فرض كنید G یک گروه متناهی . همچنین فرض كنید G دارای سری نرمال  باشد. اگر  و p مرتبه K را عاد نکند آن‌گاه نتایج زیر برقرار است:

1. i)
2. ii) یعنی ؛

iii)  به عبارت دیگر داریم  جائیكه t یک عدد صحیح مثبت است و.

برهان. به [27] رجوع شود.

تعریف: فرض كنید G یک گروه متناهی باشد و  كه در آن m و n دو عدد طبیعی متباین‌اند. هر زیرگروه G از مرتبه m را یک زیرگروه هال می‌نامند. به عبارت دیگر، زیرگروه H از G را یک زیر گروه هال گویند در صورتی كه  و  نسبت به هم اول باشد.

همچنین اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و  در اینصورت H را یک  هال زیر گروه G می‌نامند.

قضیه 1-2-5 فرض كنید G یک گروه متناهی حلپذیر و، جائیكه و . همچنین فرض كنید  و  تعداد هال زیرگروه های G باشد، آن‌گاه  است كه به ازای هر   در شرایط

 زیر صدق می‌كند:

1. i) برای یک ؛
2. ii) مرتبه یكی از فاكتورهای اصلی از سری اصلی گروه G را عاد می‌كند.

برهان. به [12] رجوع شود.

تعریف: گروه G را با  گروه می‌نامیم هر گاه . اگر G یک گروه ساده و  آن گاه G را یک  گروه ساده می‌نامیم.

قضیه 1-2-6  فرض كنید G یک گروه ساده غیر آبلی باشد در این صورت .

این مطلب را هم بخوانید :

برهان. بنا به قضیه برنساید هر  گروه و هر گروه از مرتبه  حلپذیرند، چون G غیرحلپذیر است پس .

۱- ۳  آشنایی با رده بندی گروه های ساده متناهی

گروه های ساده را به چهار نوع گروه رده بندی كرده اند كه در ذیل به بیان این رده بندی می پردازیم:

قضیه 1-۳- ۱ (قضیة رده بندی گروه های سادة متناهی)

گروه های ساده آبلی كه دقیقا عبارتند از كه در آن یک عدد اول است،

گروه های متناوب  برای ،

خانواده ای متنوع از گروه ها از نوع لی[1] ،